2本のグラフの交点は連立方程式の解｜グラフをかいて読む・式を読んで代入法で解く教材
中学2年 / C 関数 (1)一次関数
「2直線の交点の座標は、連立方程式の解」。教科書ではこの一文で済まされがちですが、生徒には、グラフの話と連立方程式の話が別の単元の出来事に見えています。
このツールは、はじめは2つの式を y = ax + b の形で別々に見せます。それぞれのグラフをかき、交わる点の座標を答えたところで、はじめて2つの式を { でくくり、「この連立方程式の解」と出します。交点が格子点にない問題では、同じ2本の直線から式を読み、代入法で連立方程式を解いて交点を求めます。
この単元で つまずくところ
- グラフが通る点を式で確かめる。 格子点をタップすると、x を式に入れた計算（2 × 1 + 3 = 5）が出ます。通らない点は赤で「≠ 4」と出て、点は残りません。
- 交点と連立方程式がつながらない。 交点の座標を答えると、その値を ① ② の両方の式に入れた計算がそろって ✓ になり、そこで { が付きます。「両方の式をみたす点」だから解になる、という順で見えます。
- 交点がグラフから読めない。 「交点を計算」モードでは、交点がちょうど格子点にない2本が出ます。グラフから読むことはできないので、式を求めて計算するしかない、という場面をつくっています。
- 代入法の流れ。 ② の右辺を ① の y へ運ぶと −x − 1 = 3x − 2 ができます。札を = の向こうへ運ぶと符号が変わり（移項）、x の札をタップすると両辺を係数でわります。求めた x を入れる式を選ぶと、y が1行ずつ出ます。途中の式は右にノートのように残ります。
このツールで 何が見えるか
- 交点を読む
- 2本のグラフを格子点のタップでかき、交点の座標を (□, □) に入れて答えます。1〜4問目は傾きが整数、5問目から分数の傾きや y = 3 もまざります。
- 交点を計算
- 2本の直線がはじめから引いてあり、交点は分数になります。直線の式を y = □x □ に入れ、代入法で解いて交点を求めます。
- 交点の座標
- 解が出ると、グラフの交点の横に (1/4, −5/4) のように座標が出ます。
- スマホ
- 縦長の画面では、座標平面が上、式と計算が下に並びます。
授業での使い方
「交点を読む」で y = x − 1 と y = −x + 5 を前に映し、2本をかいて交点 (3, 2) を答えます。{ が付く瞬間に「どうして連立方程式の解なのか」を聞きます。
「交点を計算」に切り替え、交点がグラフでは読めないことを確かめてから、代入法で1問解きます。右に残る途中の式を、そのままノートに写させます。
前半で両方のモードを2問ずつ、後半で連立方程式と一次関数の計算ドリル。ドリルの最後の段（2直線の交点の x 座標）につながります。
どの使い方でも、動かした条件はそのままURLに入ります。 画面の「リンクをコピー」を押して配れば、生徒の端末でも同じ画面が開きます。 生徒が見つけた条件のリンクを提出させれば、そのまま記録になります。
すぐ使える条件
- y = x − 1、y = −x + 5交点を読む
- y = 3x − 2、y = −x − 1交点を計算（代入法）
- y = 3x − 3、y = −2x + 3交点が (6/5, 3/5)
あえて入れていないもの
中学校で教える形を優先して、省いている条件があります。 教科書や資料集の数値と合わないことがあるので、先に書いておきます。
- 式はどちらも y = ax + b の形です。ax + by = c の形の二元一次方程式は、この道具では扱いません。
- 「交点を計算」の解き方は代入法だけです。加減法は連立方程式の道具で扱います。
- 同じ問題はリンクで配れます。URL にモードと問題の番号、途中の手が入ります。
よくある質問
ドリルはありますか？
ありません。交点を求める計算は、連立方程式の計算ドリルと、一次関数の計算ドリルの最後の段で練習できます。
はじめから { でくくって見せないのはなぜですか？
はじめから連立方程式の形で見せると、「連立方程式を解いて交点を求める」問題に見えてしまうためです。グラフの交点を先に見つけ、そのあとで連立方程式の解だと分かる順にしています。