樹形図を自分の手で育てる｜もれなく重なりなく数えて確率を出す教材
中学2年 / D データの活用 (2)不確定な事象の起こりやすさ
確率でつまずくのは計算ではなく、その前の「数える」ところです。書き出す順番が決まらないと、同じものを二度数えたり、抜かしたりします。樹形図はそれを防ぐ道具ですが、できあがった図を見せられても、なぜその順に書くのかは残りません。
このツールは、樹形図を本人が育てます。節をタップするとそこから枝がのび、枝の先に実がなります。実1つが出方1つ分です。全部のばすと実の数がそのまま「全部で何通り」になり、当てはまる実を摘むと、当たりの数と全部の数、そして約分した分数が出ます。
この単元で つまずくところ
- もれる・重なる。 節を1つずつ開くので、開いていない節が残っているうちは実がそろいません。どこが開いていないかは図を見れば分かります。
- 並べ方とえらび方のちがい。 「AB と BA は同じ」問題では、枝をのばし終えたあとに同じ組み合わせを消す段が入ります。どちらを消してもかまいません（押し直しで戻せます）。消し終えてはじめて数が確定します。
- 消す段に気づかない。 画面の右上に「枝を のばす → 同じ ものを 消す → 当たりを えらぶ」の帯が出て、いまどの段かが分かります。消せる実のうしろには青いかさなりが出ます。
- 枝が多すぎて書けない。 さいころ2つ（36通り）とトランプ（52通り）は樹形図をあきらめて表で数えます。左の見出しを押すとその行がうまります。数えるのは本人です。
- 確率の分数が出せない。 摘んだ実の数が分子、残っている実の数が分母です。約分した形も横に並べて出ます。
このツールで 何が見えるか
- 枝をのばす
- ＋の付いた節をタップすると、その先の枝と実がのびます。全部自動では描きません。いま何個かが右に出ます。
- 同じ組み合わせを消す
- えらび方（4人から2人）と玉（同時に2個）では、重なっている実をタップして片方を消します。消した実には赤い線が引かれます。
- 当たりを摘んで答える
- 当てはまる実をタップして「答える」。当たり◯個 ／ 全部◯個 と、約分した分数が出ます。判定はミスの数だけで、どこが違うかは言いません。
- 表で数える
- さいころ2つは 6×6、トランプは 4×13 の表。行の見出しを押すとその行がうまります。ますを押して答えます。
- 11問
- コイン2枚・3枚、くじ（もどさない）、3人の並び方、4人から2人えらぶ、さいころ1つ、じゃんけん、数字カード、赤玉と白玉、さいころ2つ、トランプ。
- スマホ
- 縦長の画面では、樹形図が上、問題と数が下に並びます。
授業での使い方
コイン2枚を映し、「全部で何通りか」を予想させてから節を開かせます。実がそろったところで4通りを確認します。
並べ方（3人）とえらび方（4人から2人）を続けて出します。えらび方で消す段が入るところで、「順番がちがっても同じ」の意味を言葉にさせます。
前半で前半の問題を全員に操作させ、後半はさいころ2つとトランプ。枝で書けない数をどう数えるか（表）を扱い、教科書の練習問題につなげます。
どの使い方でも、動かした条件はそのままURLに入ります。 画面の「リンクをコピー」を押して配れば、生徒の端末でも同じ画面が開きます。 生徒が見つけた条件のリンクを提出させれば、そのまま記録になります。
すぐ使える条件
- コイン2枚から問題1
- くじを2本引く（もどさない）問題3
- 4人から2人えらぶ問題5・重なりを消す
- さいころ2つ問題10・表で数える
あえて入れていないもの
中学校で教える形を優先して、省いている条件があります。 教科書や資料集の数値と合わないことがあるので、先に書いておきます。
- 判定はミスの数だけです。どこが違うかは言いません。
- 重なっている実はどちらを消してもかまいません。押し直すと元に戻ります。
- 「ことばの説明」を入れると、並べ方とえらび方のちがいと、確率の意味が下に出ます。
- 同じ問題はリンクで配れます。URL に問題の番号と、開いた節・消した実が入ります。
よくある質問
確率の計算（かけ算・たし算）は扱いますか。
扱いません。数え上げて「当たりの場合の数 ÷ 全部の場合の数」を出すところまでです。乗法定理は高校の内容です。
答えは約分しないといけませんか。
ツールは当たり◯／全部◯と、約分した形の両方を並べて出します。本人が入力するのは摘む実だけです。
練習問題はありますか。
確率ドリルがあります。何通りかを数えるところから、さいころ2つ・少なくとも1つまで10段です。