内角の和は三角形いくつ分か｜対角線で分けて求め、外角の和が360°になるのを見る教材
中学2年 / B 図形 (1)基本的な平面図形と平行線の性質
180°×(n − 2) を公式として覚えると、n − 2 が何の数か分からないまま使うことになります。分からないまま使うと、十二角形で手が止まります。
このツールは三角形から始まります。三角形の内角の和180°は分かっているところから、四角形・五角形と角の数をふやし、そのたびに「三角形に分ける」で対角線を引きます。三角形が1つふえるごとに180°ずつふえることが、数える前に見えます。答えたあとは頂点をつまんで形を変えられます。1つ1つの角は変わっても、和は変わりません。
この単元で つまずくところ
- n − 2 が何の数か分からない。 「三角形に分ける」を押すと、1つの頂点から対角線が1本ずつ引かれ、できた三角形に180°が入ります。四角形なら2個、五角形なら3個。右の表にも「三角形 3個」と出ます。
- 形が変わると和も変わると思ってしまう。 内角の和を答えたあと、角の大きさと「88° + 83° + 97° + 92° = 360°」が出ます。頂点をつまんで動かすと、1つ1つの数は変わり続けますが、合計は変わりません。
- 外角がどの角か分からない。 辺をのばした点線と次の辺の間が外角です。色分けして出ます。
- 外角の和が360°になる理由。 「縮める」のつまみを右へ引くと多角形が小さくなり、色のついた外角が1点に集まります。集まると1周（点線の円）になります。何角形でも同じです。
このツールで 何が見えるか
- 三角形から十二角形まで
- 三角形 → 四角形 → 五角形 → 六角形 → 八角形 → 十角形 → 十二角形の順に出ます。そのあとは5〜12角形がランダムです。
- 三角形に分ける
- 1つの頂点から対角線が1本ずつ引かれ、三角形ごとに180°が出ます。分けたあとに別の頂点をタップすると、そこから分け直せます。
- 頂点を動かす
- 頂点はつまんで動かせます。へこむ形にはなりません。内角の和を答えたあとは、動かしても和が変わらないことを式で見られます。
- 外角の和
- 外角を色分けして表示し、「縮める」で多角形を縮めると1点に集まって1周になります。
- スマホ
- 縦長の画面では、多角形が上、答えの枠と数字キーが下に並びます。
- 計算の練習
- 「角度の計算ドリル」に、多角形の内角の和、正多角形の1つの内角と外角、外角の和の段があります。
授業での使い方
5分
四角形を映し、内角の和を予想させてから「三角形に分ける」を押します。180 が2つ見えたところで答えを確かめます。
15分
五角形・六角形・八角形と進め、三角形の数と内角の和を表にまとめます。十二角形で「分けなくても言えるか」を聞きます。
50分
前半は内角の和、後半は外角の和。「縮める」を全員に操作させ、何角形でも1周になることを確かめてから、外角の和が360°である理由を書かせます。
どの使い方でも、動かした条件はそのままURLに入ります。 画面の「リンクをコピー」を押して配れば、生徒の端末でも同じ画面が開きます。 生徒が見つけた条件のリンクを提出させれば、そのまま記録になります。
すぐ使える条件
あえて入れていないもの
中学校で教える形を優先して、省いている条件があります。 教科書や資料集の数値と合わないことがあるので、先に書いておきます。
- 公式 180°×(n − 2) は盤面に書きません。ことばの説明に入れてあります。
- 角の大きさは整数で表示しますが、合計がちょうど 180°×(n − 2) になるように端数を配っています。
- 同じ問題はリンクで配れます。URL に問題の番号と、分けた頂点が入ります。
よくある質問
へこんだ多角形は出ますか？
出ません。凸多角形だけを扱います。頂点を動かしてへこむ形にすることもできません。
正多角形の1つの内角は求められますか？
このツールでは扱いません。内角の和が出せれば、角の数でわって求められます。計算の練習は「角度の計算ドリル」の第7段・第8段でできます。