錐はなぜ 1/3？｜底面を積む・錐の水を柱に注ぐ・展開図に開く教材
中学1年 / B 図形 (2)空間図形 ── 体積・表面積
体積で考えさせたいのは2つ。柱の体積が「底面積 × 高さ」になる理由と、錐がその 1/3 になる理由です。式だけ覚えると 1/3 を忘れます。
このツールは3つの段。① 底面を高さのぶん積むと柱になり、積み上がったところで式が出ます。② 錐に入れた水を同じ底面・同じ高さの柱に注ぐと、3杯でちょうどいっぱい。③ 展開図に開いて表面積。円錐の側面がおうぎ形になり、その弧が底面の円周に等しいことが見えます。
この単元で つまずくところ
- 底面積 × 高さ。 ① で積んだ高さの数が横に出ます。底面が円なら底面積は πr²、そこに高さをかけます。
- なぜ 1/3。 ② の柱には 1/3 ごとの点線があります。1杯ごとに点線まで上がり、3杯でいっぱい。だから錐 = 柱 ÷ 3。
- 円錐の側面はおうぎ形。 半径は母線、弧は底面の円周。中心角は 360° × r/母線。ここが円とおうぎ形とつながるところです。
- 直角三角形の底面。 3:4:5 の直角三角形です。面積は 底辺 × 高さ ÷ 2 で整数か .5 になります。
このツールで 何が見えるか
- ① 柱の体積
- 「積み上げる」で底面が高さまで積まれ、体積 = 底面積 × 高さ の式が出ます。
- ② 錐の体積
- 「3杯 注ぐ」で錐の水が柱へ。1/3 の点線と杯の数で、3杯 = 柱 が見えます。
- ③ 表面積
- 柱／錐を選び、展開図。円柱は長方形＋円2つ、円錐はおうぎ形＋円。側面積・底面積・表面積が出ます。
授業での使い方
5分
② だけ。「何杯でいっぱいになるか」を予想させてから注ぎます。
15分
①→②→③。底面を円・正方形・直角三角形に変えて、どの底面でも 3杯 になることを見ます。
50分
③ で円錐の中心角 360° × r/母線 を確かめ、体積と表面積 計算ドリルへ。
どの使い方でも、動かした条件はそのままURLに入ります。 画面の「リンクをコピー」を押して配れば、生徒の端末でも同じ画面が開きます。 生徒が見つけた条件のリンクを提出させれば、そのまま記録になります。
すぐ使える条件
あえて入れていないもの
中学校で教える形を優先して、省いている条件があります。 教科書や資料集の数値と合わないことがあるので、先に書いておきます。
- 底面の大きさは 1〜4、高さは 2〜8。数は π の係数か整数・小数で出ます。
- 錐の側面の高さ（正方形・直角三角形の底面）は ≒ の数です。円柱・円錐・柱の表面積はきれいな数になります。
- 球の体積・表面積は「ことばの説明」に式だけ。盤面では扱いません。
よくある質問
1/3 の証明はありますか。
中学では水を注いで確かめるところまでです。式で示すのは高校（積分）です。
正三角形の底面はありますか。
ありません。面積に √3 が出て中学1年には合わないので、3:4:5 の直角三角形にしています。